1. (4) Известно, что а = 32010 + 2. Верно ли, что а2 + 2 – простое число? Ответ обоснуйте.

2. (4) Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна тройка?

3. (3) Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА=БАХ.

4. (5) Буратино зарыл на Поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, а на нем – две монеты: серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал в карман, а золотую зарыл, и опять выросло дерево ... . Каждый раз на дереве вырастали две монеты: либо две золотые, либо золотая и серебряная, либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а золотые закапывал. Когда закапывать стало нечего, в кармане у Буратино было 2010 серебряные монеты. Сколько монет закопал Буратино?

5. (5) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a3 + b3 + c3 + d3 = 100100?

Решения

1. Ответ: нет, не верно.

Заметим, что данное число при делении на 3 дает остаток 2, следовательно, оно имеет вид:

a =3t +2, где t – некоторое натуральное число (в данном случае t = 32009). Тогда , то есть, кратно трем при любом натуральном t.

2. Если в записи числа нет тройки, то на первом месте может стоять любая цифра, кроме 0 и3, на двух других местах - любая цифра, кроме 3. Значит, всего имеется 899=648 трехзначных чисел, в записи которых нет 3. Всего трехзначных чисел 999-99 =900. А значит трехзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна тройка 252.

Ответ: 252.

3. 252=625.

4. Ответ: 2009.

Назовем монету, из которой что-то выросло – «родителем», а монету, которая выросла из какой-нибудь монеты – «ребенком». Заметим, что «детьми» являются все монеты, кроме первой, а каждая золотая монета (и только она) является «родителем». Поскольку у каждого «родителя» – два «ребенка», то «детей» – в два раза больше, чем «родителей».

Пусть x – количество золотых монет, а y – количество серебряных, тогда всего монет будет x + y, из которых «детьми» являются (x + y) – 1 монет, а «родителями» – x. Составляем уравнение: (x + y) – 1 = 2x ⇔ x = y – 1, то есть, количество золотых монет меньше количества серебряных на 1, следовательно, Буратино закопал 2009 монет.

5. Существуют, например

(10033)3 + (2⋅10033)3 + (3⋅10033)3 + (4⋅10033)3 = (13 + 23 + 33 + 43)⋅10099 = 100⋅10099 = 100100.