1. Даны числа 1, 2, 3,4,5,6. Разрешено к любым двум из них прибавить по единице. Можно ли за несколько шагов уравнять эти числа?

Решение. Прибавление к числу единицы меняет его чётность. Прибавление по 1 к двум числам меняет чётность двух чисел. Если это были два чётных числа, то чётных

чисел станет на два меньше, если два нечётных, то чётных станет на два больше. А если одно было чётное, а другое нечётное, то количество чётных чисел не изменится. В любом случае чётность числа чётных чисел не изменится. Другими словами, здесь чётность числа чётных чисел - инвариант. Но если в шестерке все числа станут одинаковые, чётных среди них станет 0 или 6 - чётное число.Ответ. Нельзя.



2. Играют двое. Первый называет произвольное целое число от 2 до 9. Второй умножает это число на произвольное целое число от 2 до 9. Затем первый умножает результат на любое целое число от 2 до 9, и так далее. Выигрывает тот, кто первым получит произведение больше 1 000. Кто при правильной игре выигрывает — начинающий или его партнёр?

Ответ. Победит начинающий. Решение. Очевидно, игрок, перед ходом которого получилось число, не меньшее 112 (но меньшее 1000), выигрывает. Значит, игрок, начинающий с числа, не меньшего 55, но меньшего 112, проигрывает (любой его ход даст число в промежутке от 112 до 999). Теперь те числа, из которых одним ходом можно получить число от 56 до 111 (включительно), являются выигрышными. Это числа от 8 до 55. Наконец, числа от 4 до 7 — проигрышные. Таким образом, первый игрок может назвать одно из чисел от 4 до 7, и при правильной игре выиграет.

3. В конференции участвовало 100 человек – химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: «Если не считать Вас, то кого больше среди остальных участников – химиков или алхимиков?» Когда опросили 51 участника, и все ответили, что алхимиков больше, опрос прервался. Алхимики всегда лгут, а химики всегда говорят правду. Сколько химиков среди участников?

Все химики должны ответить одинаково, и все алхимики – тоже. Если больше химиков, то химики так и скажут, но среди 51 опрошенных обязан найтись химик – противоречие. Если же больше алхимиков, то все они соврут, т. е. скажут, что больше химиков, то опять-таки среди 51 опрошенных хотя бы один – алхимик. Значит, химиков и алхимиков поровну.

4. Дорожки в зоопарке образуют равносторонний треугольник, в котором проведены средние линии. Из клетки сбежала обезьянка. Её ловят два сторожа. Смогут ли они поймать обезьянку, если все трое будут бегать только по дорожкам, скорость обезьянки и скорости сторожей равны и они видят друг друга?

Ответ: да, смогут.

Решение Опишем, как могут действовать сторожа, чтобы поймать обезьянку. Пусть сначала первый сторож прибежит в вершину B, а второй — в вершину C. Если обезьянка оказалась на одной из сторон треугольника ABC, то сторожа идут навстречу друг другу и ловят обезьянку. Пусть этого не случилось. Без ограничения общности можно считать, что обезьянка находится в правой половине зоопарка, т. е на одной из сторон треугольника CEF. Далее первый сторож бежит в вершину E, а второй сторож ведёт себя следующим образом: пока обезьянка находится вне отрезков BD и DE, он стоит в вершине C, а когда обезьянка находится на одном из этих отрезков, он стоит так, чтобы расстояние от него до вершины B было равно расстоянию от обезьянки до этой вершины. Когда первый сторож добегает до вершины E, второй перебегает в ту из вершин B, C, которая лежит в той же половине зоопарка, что и обезьянка.

В результате либо сторожа стоят в вершинах C и E, а обезьянка находится на одной из сторон треугольника CEF, либо сторожа стоят в вершинах B и E, а обезьянка находится на одной из сторон треугольника BDE. В обоих случаях сторожа ловят обезьянку.