1. Придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него – целые числа.

Ответ. Например, 100/3.

2. Найдите сумму: 1002–992+982–972+...+22–12.

Решение.

По формуле разности квадратов 1002–992 = 100+99; 982–972=98+97; …

Поэтому 1002–992+982–972+...+22–12 = 100+99+98+97+96+95+..+2+1=(100+1)*100/2=5050.

Комментарий. Возможны и другие способы подсчета.

3. Встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым, кроме Федота Бурчеева, который, будучи не в духе, некоторым пожал руку, а некоторым – нет.

Всего было сделано 197 рукопожатий. Сколько рукопожатий сделал Федот?

Ответ. 7 рукопожатий.

Решение. Если каждый из n человек пожмет руки всем остальным, то все сделают по n-1 рукопожатий, а всего рукопожатий будет сделано n(n-1)/2, ибо в каждом из них

участвуют двое. Посмотрим, сколько могло быть людей, кроме Федота. Заметим, что если 20 человек пожмут руки друг другу, то всего будет сделано 190 рукопожатий. Т.е. Федоту останется сделать 7 рукопожатий. Если же без Федота было менее 20 человек, то они сделали без него не более 19*18/2=171 рукопожатие, т.е. на долю Федота осталось бы не менее 26 рукопожатий, а человек, кому он мог бы пожать руку – не более 19 – противоречие. Если же без Федота было больше 20 человек, то только они одни в сумме сделали бы больше 197 рукопожатий (21*20/2=210>197). Таким образом, ответ единственный – Федот сделал 7 рукопожатий.

4. На круглой арене цирка (но не в ее центре) стоит тумба, на которой сидит лев. По команде укротителя лев спрыгивает с тумбы и бежит по прямой. Добежав до бортика, он поворачивает на 90градусов, снова добегает до бортика, поворачивает на 90градусов и т.д. Докажите, что на арене (но не на тумбе) можно положить кусочек мяса так, что, независимо от первоначального направления движения, лев съест мясо. (Лев съедает мясо, если его путь проходит через точку, в которой оно лежит.)

Ответ. Мясо надо положить в точку, симметричную тумбе относительно центра окружности.

Решение. Пусть тумба находится в точке T. Тогда лев движется вдоль ломаной TABC (см. рисунок). Продолжим AT до пересечения с окружностью в точке D. Так как хорды ВС и АD перпендикулярны хорде АВ, они симметричны относительно центра окружности. (Действительно, АС – диаметр, т.к. он виден из точки В под прямым углом. Аналогично ВD диаметр. Значит, точка их пересечения – центр окружности и центр симметрии прямоугольника ABCD.) Следовательно, независимо от начального направления, лев пройдет через точку U, симметричную точке T относительно центра окружности.

5. У каждого трехзначного числа нашли произведение его цифр. Получилось 900 произведений от 1*0*0 до 9*9*9 . Чему равна их сумма?

Ответ. 453=91125.

Решение. Достаточно заметить, что если мы раскроем скобки в произведении (1+2+…+9)·(0+1+2+…+9) ·(0+1+2+…+9), то получим как раз 900 перечисленных в условии слагаемых, а все три суммы, стоящие в скобках, равны 45.

6. Был квадратный трехчлен x2+10x+12. За один ход разрешается менять на единицу свободный член или коэффициент при x. После нескольких таких операций получили трехчлен x2+12x+10. Докажите, что в некоторый момент был трехчлен с целым корнем.

Решение. Заметим, что -1 является корнем квадратного трехчлена x2+(n+1)x+n, т.е. приведенного трехчлена, у которого коэффициент при x на 1 больше свободного члена. В изначальном трехчлене коэффициент при x меньше свободного члена, а в конечном – больше. А так как изменять мы можем только один из них на единицу, значит, в некоторый момент коэффициент при x был на 1 больше.

Комментарии по проверке

Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое число от 0 до 7.

При оценке решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение в целом верным (хотя, может, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов.

Задача 1. Правильный пример – 7 баллов.

Задача 2. Только ответ без обоснования, как он найден, – 2 балла. За представление выражения в виде суммы арифметической прогрессии – 2 балла. После этого арифметическая ошибка (но не

ошибка при подсчете количества слагаемых/пар и не ошибка в формуле, которые арифметическими не считаются) – 5 баллов.

Задача 3. Только ответ «7» без обоснования – 1 балл. Ответ с проверкой – 3 балла.

Задача 4. Ответ: «мясо нужно положить в точку, симметричную тумбе относительно центра арены», без достаточных обоснований, почему она годится – 3 балла.

Задача 5. За ответ без обоснования – 3 балла. С другой стороны, не надо требовать более подробного обоснования, чем в приведенном решении. Вычислять 453 не требуется, если такое вычисление есть и в нем допущена ошибка, оценка не снижается.

Задача 6. Сказано, что обязательно будет корень -1, но не сказано почему – 2 балла.