1. Придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него – целые числа.

Ответ. Например, 100/3.

2. Туристам-байдарочникам нужны восемь одинаковых «сидушек» – мягких ковриков длиной не менее 35 см и шириной не менее 20 см. В спортивном магазине продаются большие коврики длиной 110 см и шириной 56 см. Хватит ли большого коврика на восемь «сидушек»?

Ответ. Да, хватит.

Решение. Разрежем большой коврик на два куска размерами 110x20 и 110x36. Из первого куска можно вырезать 3 «сидушки» размером 35x20 (и даже 36x20), а из второго куска – 5 «сидушек»

размером 35x20 (и даже 36x22).

Комментарий. Подсчет и сравнение площадей: 110*56=6160 – площадь большого ковра, 8*(35*20)=5600 – суммарная площадь маленьких, 6160>5600 – обоснованием не является. Например, большой ковер мог быть шириной 10 см, а длиной – километр.

Его площади хватило бы, однако ни одной «сидушки» из него вырезать нельзя.

3. Бумажный треугольник разрезали на два многоугольника прямолинейным разрезом, один из полученных многоугольников вновь разрезали на два и т. д. Какое наименьшее количество разрезов следует произвести, чтобы суммарное количество вершин у полученных многоугольников стало равно 400? Как это сделать?

Ответ. 100 разрезов.

Решение. Все получающиеся многоугольники выпуклые. Каждый разрез может идти:

а) из вершины в вершину;

б) из вершины к стороне;

в) от стороны к стороне.

В первом случае суммарное число вершин увеличивается на две, во втором – на три, в третьем – на 4. Таким образом, за один разрез общее число вершин может увеличиться максимум на 4.

Изначально у нас есть 3 вершины. Если разрезов было 99 или меньше, то общее число вершин будет 3+99*4=399<400. Таким образом, 99 разрезов не хватит. Чтобы получить 400 частей за 100 разрезов достаточно сделать 97 разрезов типа в – от стороны к стороне, и 3 разреза типа б – из вершины к стороне. Итого получится 3+97*4+3*3=400 частей.

Комментарий. Возможны и другие способы разрезания.

4. У разбойников есть 13 слитков золота. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух слитков. Придумайте, как за 8 взвешиваний выяснить суммарный вес всех слитков.

Решение. Возьмем три первых слитка и взвесим их попарно: С1+С2, С1+С3, С2+С3, затратив три взвешивания. Сложив результаты этих взвешиваний и поделив пополам, найдем суммарный вес этих трех слитков: ((С1+С2)+(С1+С3)+(С2+С3))/2 = С1+С2+С3. За оставшиеся пять взвешиваний найдем вес остальных 10 слитков: объединим их в 5 пар и взвесим каждую пару.

5. У каждого трехзначного числа нашли произведение его цифр. Получилось 900 произведений от 1*0*0 до 9*9*9 . Чему равна их сумма?

Ответ. 453=91125.

Решение. Достаточно заметить, что если мы раскроем скобки в произведении (1+2+…+9)·(0+1+2+…+9) ·(0+1+2+…+9), то получим как раз 900 перечисленных в условии слагаемых, а все три суммы, стоящие в скобках, равны 45.

6. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Докажите, что если AB||DE, AF||DC, то и BC||EF.



Решение. Так как АВ||DE, то

Так как четырехугольник ABCF – вписанный, то

Замечание. Можно было не использовать вписанные четырехугольники, а просто выразить оба угла BCF и CFE через дуги.

Комментарии по проверке

Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое число от 0 до 7. При оценке

решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение в целом верным (хотя, может, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов.

Задача 1. Правильный пример – 7 баллов.

Задача 2. Ответ без обоснования или с обоснованием, что площади хватает – 0 баллов. Ответ с объяснением, как резать – 7 баллов.

Задача 3. В задаче нужно сделать две вещи: 1) доказать оценку – что меньшим числом разрезаний не обойтись; 2) привести пример на данное число разрезаний. Если сделана только какая-то одна из этих двух вещей – 3 балла.

Только ответ «100 разрезаний» – 1 балл.

Задача 4. Правильные взвешивания и объяснение, как по их результатам узнать суммарный вес слитков – 7 баллов. Если используется запрещенное взвешивание (например, в какой-то момент взвешивается только один слиток) – 0 баллов.

Задача 5. За ответ без обоснования – 3 балла. С другой стороны, не надо требовать более подробного обоснования, чем в приведенном решении. Вычислять 453 не требуется.