Сократить дробь: .

(2б)

Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил?

(2б)

Докажите, что если сум ... Читать дальше »

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 … 998 999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого нату ... Читать дальше »

Вычислите: .

Постройте график функции: у = .
Решите неравенство:

+ < х – 1.

Имеется 9 пустых больших коробок. В некоторые из них положили по 10 пустых средних коробок, а в некоторые средние – по 10 пустых маленьких. Всего оказалось 109 коробок. Сколько с ... Читать дальше »

На выполнение работы отводится 3 астрономических часа.

Задание части А: за каждый правильный ответ — 1 балл (всего 10 баллов).

Задание части В: Задание 1, 2, 3, 4 – по 3 балла (по 0,5 за каждую правильно указанную букву (А или Б) рядом с цифрой).

Задание части ... Читать дальше »

1. Придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него – целые числа.

Ответ. Например, 100/3.

2. Найдите сумму: 1002–992+982–972+...+22–12.

Решение.

По формуле разности квадратов 1002–992 = 100+99; 982–972=98+97; …

Поэтому 1002–992+9 ... Читать дальше »

Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?



Ответ: можно.

Решение. Рассмотрим, например, 10 ... Читать дальше »

Докажите, что для любых чисел a, b, c, принадлежащих отрезку [0, 1], выполните неравенство

(a + b + c + 1)2 4(a2 + b2 + c2).

Решить систему уравнений

В окружность с центром О вписан четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстоя ... Читать дальше »

10.1. Садовод-исследователь в течение июля и августа наблюдал за своей яблоней. За

каждый месяц каждое яблоко увеличивает вес в 1,5 раза, но при этом 20% хороших яблок

становятся червивыми. Как и на сколько процентов изменился общий вес хороших яблок в

конце ав ... Читать дальше »

В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

Даны два различных числа х и у (не обязательно целых) таковы, что х2 – 2012 х = у2 – 2012 у ... Читать дальше »

Решите уравнение

В ответе укажите целый корень. (2б)

Решение:



Ответ:1.

Решите систему уравнений

(2б)

Решение:

Пусть , xy=b, тогда



Имеем

Ответ: (3;1), (1;3). ... Читать дальше »

Делится ли на 61? (7баллов)
Решить уравнение .(7баллов)
Известно, что в ΔABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС. (7баллов)
При каких значениях а разность корней уравнения равна 3? (7баллов)
Сумма десяти первых членов арифметической пр ... Читать дальше »

1. Придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него – целые числа.

Ответ. Например, 100/3.

2. Найдите сумму: 1002–992+982–972+...+22–12.

Решение.

По формуле разности квадратов 1002–992 = 100+99; 982–972=98+97; …

Поэтому 1002–992+9 ... Читать дальше »

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция. (7баллов)
Найдите все решения уравнения: .(7баллов)
В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соед ... Читать дальше »

1.(2б) Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число √2 +√3.

Решение

Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а (a2 – 5)2 = (2√6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24, которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что а является корнем мно ... Читать дальше »

1. В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

2. При сложении двух целых чисел Коля поставил лишний ноль на конце одного из слагаемых ... Читать дальше »