1. В связи с кризисом зарплата сотрудников фирмы понизилась на 20%. На сколько процентов следует ее повысить, чтобы она достигла прежнего значения?

2. В коробке лежат восемь различных костяшек домино (см. рисунок), но границы между ними не видны. Нарисуйте границы.

3. Даны две правильные обыкновенные дроби. У первой числитель на 5 меньше знаменателя, у второй числитель на 2009 меньше знаменателя. Может ли у их суммы числитель быть больше знаменателя?

4. В четырехугольнике AВCD продолжения противоположных сторон АВ и CD пересекаются под углом 20°; продолжения противоположных сторон ВС и AD также пересекаются под углом 20°. Докажите, что два угла в этом четырехугольнике равны, а два других отличаются на 40°.

5. В данной в конце условия задачи фразе надо на месте многоточия поставить число (числительное), записанное в словесной форме и в нужном падеже, чтобы сформулированное в ней утверждение оказалось истинным. Вот эта фраза: «Число букв в этой фразе равно...»

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 8 класса

Усложнённый вариант

1. В коробке лежат восемь различных костяшек домино (см. рисунок), но границы между ними не видны. Нарисуйте границы.

2. Иван Иванович пришел в магазин, имея 2000 рублей. В магазине продавали веники по 117 руб. и тазики по 166 руб. (других товаров в магазине уже не осталось). Сколько веников и сколько тазиков ему нужно купить, чтобы потратить как можно больше денег?

3. В четырехугольнике AВCD продолжения противоположных сторон АВ и CD пересекаются под углом 20°; продолжения противоположных сторон ВС и AD также пересекаются под углом 20°. Докажите, что два угла в этом четырехугольнике равны, а два других отличаются на 40°.

4. В данной в конце условия задачи фразе надо на месте многоточия поставить число (числительное), записанное в словесной форме и в нужном падеже, чтобы сформулированное в ней утверждение было истинным. Вот эта фраза: "Число букв в этой фразе равно..."

5. Квадрат разбит прямыми на 25 прямоугольников. Площади некоторых из них указаны на рисунке (выполненном не в масштабе). Найдите площадь прямоугольника, отмеченного вопросительным знаком.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года.

Школьный тур, г. Котельнич

8 класс, базовый вариант

Решения и указания по оценке

0 0


1 3


1 1


0 3


2

3


3 3


2

1



2 2


1. Ответ: на 25%. Решение. Пусть до кризиса зарплата была равна х рублей. Тогда после кризиса зарплата стала 0,8х рублей. Чтобы зарплата достигла прежнего значения, ее надо увеличить в 1/0,8 = 1,25 раз, то есть на 25%.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов.

2. Ответ: на рисунке справа.

Указания по оценке: За верный рисунок — 7 баллов.

3. Ответ: может. Идея решения. Если знаменатели дробей достаточно велики, то каждая из дробей больше 1/2 и, значит, их сумма больше единицы. Если дробь больше единицы, то ее числитель больше знаменателя. Возьмем, например,4995/5000 и 2991/5000.

Указания по оценке: Ответ «может», не обоснованный примером — 0 баллов. Любой верный пример — 7 баллов.

4. Решение: Пусть О1 — точка пересечения АВ и CD, а О2 — точка пересечения ВС и AD. Можно считать, что пересекаются лучи ВА и CD и лучи ВС и AD. Применяя к ΔO1AD и Δ О2CD теорему о том, что внешний угол равен сумме двух внутренних, получим
BAD = AO1D + ADO1 = 20° + ADO1 = 20° + CDО2 = BCD. Аналогично, применяя теорему о внешнем угле к ΔCDО2 и ΔO1ВС, получим: ADC = DCО2 + 20° = ABC + BO1C + 20° = ABC + 40°.

Указания по оценке: Доказательство только равенства углов BAD и BCD — 4 балла.

5. Ответ: Число букв в этой фразе равно тридцати восьми. Решение: В начале фразы использованы 24 буквы. Легко проверить, что в "словесной записи" двузначного числительного (в дательном падеже) участвуют не более 19 и не менее шести букв. Поэтому в законченной фразе букв не более 43 и не менее 30. Далее без труда находим ответ перебором числительных от «тридцати» до «сорока трём».

Указания по оценке: За верный ответ — 7 баллов.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года.

Школьный тур, г. Котельнич

8 класс, усложнённый вариант

Решения и указания по оценке

0 0


1 3


1 1


0 3


2

3


3 3


2

1



2 2


1. Ответ: на рисунке справа.

Указания по оценке: За верный рисунок — 7 баллов.

2. Ответ: Иван Иванович потратит все деньги, если купит 10 веников и 5 тазиков.

Указания по оценке:: За верный ответ— 7 баллов.

3. Решение: Пусть О1 — точка пересечения АВ и CD, а О2 — точка пересечения ВС и AD. Можно считать, что пересекаются лучи ВА и CD и лучи ВС и AD. Применяя к ΔO1AD и ΔО2CD теорему о том, что внешний угол равен сумме двух внутренних, получим BAD = AO1D + ADO1 = 20° + ADO1 = 20° + CDО2 = BCD. Аналогично, применяя теорему о внешнем угле к ΔCDО2 и ΔO1ВС, получим ADC = DCО2 + 20° = ABC + BO1C + 20° = ABC + 40°.

Указания по оценке: Доказательство только равенства углов BAD и BCD — 4 балла.

4. Ответ: Число букв в этой фразе равно тридцати восьми. Решение: В начале фразы использованы 24 буквы. Легко проверить, что в "словесной записи" двузначного числительного (в дательном падеже) участвуют не более 19 и не менее шести букв. Поэтому в законченной фразе букв не более 43 и не менее 30. Далее без труда находим ответ перебором числительных от «тридцати» до «сорока трём».

Указания по оценке: За верный ответ — 7 баллов.

5. Ответ: Решение: Обозначим горизонтальные стороны прямоугольников
а1, а2,..., а5, а вертикальные — b1, b2, ..., b5. Произведение площадей прямоугольников 1, 2, 3, 4, 5 равно а1b1а2b2а3b3а4b4а5b5, а прямоугольников 6, 7, 8, 9 — а2b1а3b2а4b3а5b4. Разделив одно равенство на другое, получим а1b5. Но это и есть искомая площадь! Осталось сократить дробь. Замечание. Можно рассуждать иначе: пусть а1 = х. Тогда, так как a1b1 = 1, b1 = 1/x. Так как а2 b1 = 6, а2 = 6х и т.д. Продолжая этот процесс, получим b5 =

Указания по оценке: Если при верном ходе рассуждений ответ получился неверным из-за арифметической ошибки — 4 балла.