1. Трем братьям вместе 58 лет. Сколько лет каждому из них, если лет младшего брата, равны лет среднего, и равны лет старшего.

2. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 12 градусам.

3. Как разрезать квадрат на 5 равных частей?

4. Грузовику предстояло проехать 400 км. Три четверти пути он ехал со скоростью 75 км/ч. Может ли он так увеличить свою скорость на оставшемся участке пути, чтобы средняя скорость на всём пути стала равна 100 км/ч?

5. Настя, Полина и Лера как-то обнаружили, что все они в одинаковых джинсах. Как выглядят эти джинсы, если известно, что у Насти есть джинсы с карманами, узкие джинсы и вылинявшие джинсы без карманов, у Полины – джинсы без карманов и вылинявшие узкие джинсы с карманами, и наконец, у Леры есть широкие джинсы и темные узкие джинсы с карманами? Объясните, как вы нашли ответ.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 7 класса

Усложнённый вариант

1. Трем братьям вместе 58 лет. Сколько лет каждому из них, если лет младшего брата, равны лет среднего, и равны лет старшего.

2. Как разрезать квадрат на 5 равных частей?

3. Грузовику предстояло проехать 400 км. Три четверти пути он ехал со скоростью 75 км/ч. Может ли он так увеличить свою скорость на оставшемся участке пути, чтобы средняя скорость на всём пути стала равна 100 км/ч?

4. Настя, Полина и Лера как-то обнаружили, что все они в одинаковых джинсах. Как выглядят эти джинсы, если известно, что у Насти есть джинсы с карманами, узкие джинсы и вылинявшие джинсы без карманов, у Полины — джинсы без карманов и вылинявшие узкие джинсы с карманами, и, наконец, у Леры есть широкие джинсы и темные узкие джинсы с карманами? Объясните, как вы нашли ответ.

5. Мистер Твистер и его друг мистер Министр ходят по тропинке длиной 200 м. Выходят они с противоположных концов тропинки одновременно и идут до встречи. После встречи мистер Твистер сразу разворачивается и идёт назад, дойдя до места выхода, снова разворачивается и идёт до встречи и так это повторяется 3 раза. В то же время мистер Министр продолжает идти в одном и том же направлении, пока не дойдёт до конца тропинки, а когда дойдёт, то разворачивается и идет назад. На каком расстоянии от того конца тропинки, с которого вначале стартовал мистер Твистер, они встретятся в третий раз, если Твистер ходит в 4 раза быстрее Министра?

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года.

Школьный тур, г. Котельнич

Решения и указания к проверке задач для 7 класса

Базовый вариант

1. Ответ: 24; 18;16. Решение. Пусть младшему брату x лет. Тогда среднему брату (3х/4):(2/3) = 9x/8 лет, а старшему брату — (3х/4):(1/2) = 3x/2 лет. По условию x+9x/8+3x/2 = 29x/8 = 56, откуда x = 16, 9x/8 = 18, 3x/2 = 24.

Указания по оценке: За верно составленное, но неверно решённое уравнение (или систему уравнений) — 2 балла. За ответ без обоснования или найденный подбором — 3 балла.

2. Ответ: 33, 57. Решение. Биссектриса делит прямой угол на углы по 45, откуда и получаем ответ.

Указания по оценке: За ответ без обоснования — 3 балла.

3. Ответ — на рисунке справа.

Указания по оценке: За верный рисунок — 7 баллов.

4. Ответ: Нет. Решение. Чтобы средняя скорость стала равна 100 км/ч, на весь путь он должен затратить 4 часа. Но на первые 300 км он уже затратит 300/75 = 4 ч, значит на оставшиеся 100 км ему времени не останется.

Указания по оценке: За ответ без обоснования — 0 баллов.

5. Ответ: Вылинявшие широкие джинсы без карманов. Решение. Лера не может быть в тёмных узких джинсах с карманами, потому что у Полины таких джинсов точно нет. Поэтому Лера (а с ней — и Полина с Настей) — в широких джинсах. Поскольку Полина — не в узких джинсах, она в джинсах без карманов. Стало быть, Настя не может быть как в узких джинсах, так и в джинсах с карманами, то есть она — в вылинявших джинсах. Соединяя всё сказанное, получаем ответ.

Указания по оценке: За верный ответ — 4 балла, остальное — за объяснение того, как он был найден. За ответ «широкие джинсы» без объяснения — 1 балл, с объяснением — 2 балла. За ответ «широкие джинсы с карманами» без объяснения — 2 балла, с объяснением — 4 балла.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года.

Школьный тур, г. Котельнич

Решения и указания к проверке задач для 7 класса

Усложнённый вариант

1. Ответ: 24; 18;16. Решение. Пусть младшему брату x лет. Тогда среднему брату (3х/4):(2/3) = 9x/8 лет, а старшему брату — (3х/4):(1/2) = 3x/2 лет. По условию x+9x/8+3x/2 = 29x/8 = 56, откуда x = 16, 9x/8 = 18, 3x/2 = 24.

Указания по оценке: За верно составленное, но неверно решённое уравнение (или систему уравнений) — 2 балла. За ответ без обоснования или найденный подбором — 3 балла.

2. Ответ — на рисунке справа.

Указания по оценке: За верный рисунок — 7 баллов.

3. Ответ: Нет. Чтобы средняя скорость стала равна 100 км/ч, на весь путь он должен затратить 4 часа. На первые 300 км он затратит 300/75=4ч, значит на оставшиеся 100 км ему времени не останется.

Указания по оценке: За ответ «нет» без обоснования — 0 баллов.

4. Ответ: Вылинявшие широкие джинсы без карманов. Решение. Лера не может быть в тёмных узких джинсах с карманами, потому что у Полины таких джинсов точно нет. Поэтому Лера (а с ней — и Полина с Настей) — в широких джинсах. Поскольку Полина — не в узких джинсах, она в джинсах без карманов. Стало быть, Настя не может быть как в узких джинсах, так и в джинсах с карманами, то есть она — в вылинявших джинсах. Соединяя всё сказанное, получаем ответ.

Указания по оценке: За верный ответ — 4 балла, остальное — за объяснение того, как он был найден. За ответ «широкие джинсы» без объяснения — 1 балл, с объяснением — 2 балла. За ответ «широкие джинсы с карманами» без объяснения — 2 балла, с объяснением — 4 балла.

5. Ответ: 142,4 м. от точки выхода Министра. Решение. До первой встречи Министр пройдёт пятую часть пути, т.е. 40 м. Пока Твистер будет возвращаться к своему концу дорожки, Министр пройдёт ещё 40 м. До второй встречи Министр пройдёт пятую часть оставшихся 120 м, т.е. 24 м и ещё 24 м, пока Твистер будет возвращаться. Наконец, до третьей встречи он пройдёт 14,4 м. Итого он пройдёт 142,4 м. Отсюда — ответ.