11 класс

Задание №1.

Решите уравнение:

Решение:

sin9x + (cos3x+sin3x)=0,

sin9x+cos (

2cos (

где

Задание №2.

Докажите, что 2a+ при .

Решение: Найдём производную функции f(a) =2a+ :

Значит, f(a) убывает на (0;1), а поэтому f(0) , где f(1) =3, т.е. 2a+ при

Задание №3.

В равнобедренной трапеции даны основания а=21 см, b=9 см и h=8 см. Найдите радиус описанного круга.

Решение: пусть ABCD - данная трапеция, BK и CM - высоты.

В С

А D

Тогда ; AK=DM=6 см; BD=; BD = 17 см; AB=; AB=10 см. R =. Отсюда R=10 см.

Задание №4.

Найдите все положительные решения системы:

, , , .

Решение:

Сложим все уравнения, предварительно умножив второе и четвёртое уравнения на 4.

Получим или

отсюда следует, что .

Задание №5.

Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то полученное число делится на 19.

Решение: выпишем последовательность чисел, которые получаются из числа 12008: 120308, 1203308, …., 12033…308 (n троек), …. Первое число равно 9Далее предположим, что и число с количеством троек в записи n-1 делится на 19 . Докажем, что и число с количеством троек n также делится на 19.. В самом деле, 12033…308-12033…308=1083000…0. Но 1083 делится на 19, поэтому и также делится на 19.