Учитель: Васильева Ирина Борисовна

Пояснительная записка

Основная цель проведения школьной олимпиады по математике:

- расширение кругозора учащихся;

- развитие интереса учащихся к изучению математики;

- выявление одарённых учащихся для организации индивидуальной работы с ними, подготовки к участию в городской олимпиаде.

Задания составлены на основе учебных программ по математике, реализуемых на уровне среднего общего образования.

Главные принципы при формировании комплектов заданий:

Нарастание сложности заданий от первого к последнему. При этом их трудность должна быть такой, чтобы с первым заданием могли успешно справиться примерно 70% участников, со вторым – более 50%, с третьим – около 20%, а с последними – несколько участников олимпиады.
Тематическое разнообразие заданий: в комплект должны входить задачи по геометрии, алгебре, комбинаторике, в старших классах желательно включение задач по теории чисел, тригонометрии, стереометрии, математическому анализу.
Обязательная новизна задач для участников олимпиады.
Недопустимость включения в задания задач по разделам математики, не изученным по всем базовым учебникам по алгебре и геометрии в соответствующем классе к моменту проведения олимпиады.
Включённые задачи взяты из разных разделов школьного курса математики. Не включены задачи с длительными выкладками.

Сложность – это объективная характеристика задачи, определяемая её структурой. Сложность зависит от:

- объёма информации, необходимого для её решения;

- числа данных в задаче;

- числа связей между ними;

- количества возможных выводов из условия задачи;

- количества непосредственных выводов, необходимых для решения задачи;

- количества взаимопроникновений при решении задачи;

- длины рассуждений при решении задачи;

- общего числа шагов решений, привлечённых аргументов и пр.



Трудность задачи зависит от:

- сложности задачи (сложная задача является как правило более трудной);

- времени, прошедшего после изучения материала, который встречается в тексте;

- практики в решении подобных задач;

- уровня развития ученика;

- возраста учащегося.

Критерии оценивания

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство леммы, нахождение примера и т.п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать все вышеперечисленное.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице:



Баллы


Правильность (ошибочность ) решения

7


Полное верное решение

6-7


Верное решение. Имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение.

5-6


Решение в целом верное. Однако решение содержит существенные ошибки либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.

4


Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.

2-3


Доказаны вспомогательные утверждения , помогающие в решении задачи.

0-1


Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0


Решение неверное, продвижения отсутствуют.

0


Решение отсутствует.

Решение считается неполным, если оно:

- содержит основные идеи, но не доведено до конца;

- при верной общей схеме рассуждений содержи пробелы, т.е.явно или скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя счесть известными или очевидными.

11 класс

Задание №1.

Решите уравнение:

Решение:

sin9x + (cos3x+sin3x)=0,

sin9x+cos (

2cos (

где

Задание №2.

Докажите, что 2a+ при .

Решение: Найдём производную функции f(a) =2a+ :

Значит, f(a) убывает на (0;1), а поэтому f(0) , где f(1) =3, т.е. 2a+ при

Задание №3.

В равнобедренной трапеции даны основания а=21 см, b=9 см и h=8 см. Найдите радиус описанного круга.

Решение: пусть ABCD - данная трапеция, BK и CM - высоты.

В С

А D

Тогда ; AK=DM=6 см; BD=; BD = 17 см; AB=; AB=10 см. R =. Отсюда R=10 см.

Задание №4.

Найдите все положительные решения системы:

, , , .

Решение:

Сложим все уравнения, предварительно умножив второе и четвёртое уравнения на 4.

Получим или

отсюда следует, что .

Задание №5.

Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то полученное число делится на 19.

Решение: выпишем последовательность чисел, которые получаются из числа 12008: 120308, 1203308, …., 12033…308 (n троек), …. Первое число равно 9Далее предположим, что и число с количеством троек в записи n-1 делится на 19 . Докажем, что и число с количеством троек n также делится на 19.. В самом деле, 12033…308-12033…308=1083000…0. Но 1083 делится на 19, поэтому и также делится на 19.