7 класс

7.1. Две соседних стороны прямоугольника относятся как 3:7. Чему равна площадь прямоугольника, если его периметр равен 40 см?

Ответ. 84 см2. Указание. Из условий задачи меньшая сторона прямоугольника равна 3х, а большая 7х при некотором х. Тогда периметр равен , откуда x =2. Площадь прямоугольника равна .

7.2. Петя сказал Васе: «Я задумал двузначное число. Если переставить его цифры, то получится число, которое в сумме с задуманным даст 143. Отгадай задуманное число, если известно, что оно простое». Какое число задумал Петя?

Ответ. 67. Указание. Пусть a, b – цифры задуманного числа. Тогда из условий задачи , откуда a + b = 13. Учитывая, что a, b – цифры, отсюда получаем шесть возможных вариантов задуманного числа: 94, 85, 76, 67, 58, 49. Из этих вариантов только 67 простое число.

7.3. Дано 300-значное число 22…21…100…0, содержащее 100 двоек, 100 единиц и 100 нулей. Можно ли переставить цифры в этом числе так, чтобы получился квадрат натурального числа?

Ответ. Нельзя. Указание. Сумма цифр данного числа равна 2100 + 1100 = 300. Из признаков делимости на 3 и на 9 следует, что данное число делится на 3, но не делится на 9. При перестановках цифр сумма цифр не меняется, и поэтому после перестановки не получится точный квадрат (т.к. число, возводимое в квадрат, должно делиться на 3, а его квадрат – на 9).

7.4. На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа a + 2b и b + 2a. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут записаны 10 одинаковых чисел?

Ответ. Не может. Указание. Предположим, от противного, что после некоторого числа операций на доске оказались все равные числа. Заметим, что при любой операции четность чисел не меняется (т.к. a + 2b имеет ту же четность, что a, и, аналогично, b + 2a имеет ту же четность, что b). Вначале было 5 четных и 5 нечетных чисел, поэтому и в конце должно быть 5 четных и 5 нечетных чисел, а у нас оказались все 10 чисел одинаковой четности). Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

7.5. В 7а классе 30 человек. Может ли оказаться так, что у каждого ученика ровно три друга в классе?

Ответ. Может. Указание. См. схему (граф), на которой отрезки соединяют пары друзей.